(一)条件概率+乘法定理+全概率+贝叶斯

一、条件概率

1、条件概率的定义

设A，B是两个事件，且P(A) > 0，称

P(B|A) =  \frac{P(AB)}{P(A)}

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.

2、条件概率的条件

1. 非负性：对于每一事件B，有 P(B|A) geq 0；
2. 规范性：对于必然事件S，有 P(S|A) = 1
3. 可列可加性：设{B_1, B_2, ...}是两两互不相容 的事件，则有

P(bigcup_{i=1}^infty B_i | A) = sum_{i=1}^{infty}P(B_i | A)

条件概率比较简单，却非常有用

二、乘法定理

1、公式定义

乘法定理 设P(A) > 0，则有

P(AB)=P(B|A)P(A)

即乘法公式。 推广到多个积事件 的情况则有

P(ABC) = P(C|AB)P(B|A)P(A)

由假设可推出P(AB) ge 0可推得P(A) geq P(AB)ge0

更一般得情况则为P(A_1, A_2 ldots A_n) = P(A_n|A_1 A_2 ldots A_{n-1} )P(A_{n-1}|A_1 A_2 ldots A_{n-2} ldots P(A_2|A_1) P(A_1))

三、全概率公式和贝叶斯公式

1、划分的定义： 设 S 为试验E得样本空间，B_1, B_2, ldots , B_n为E得一组事件. 若

（i）B_i B_j = emptyset, i ne j, j = 1, 2, ldots, n;

（ii）B_1 bigcup B_2 ldots bigcup B_n = S，则称B_1,B_2,ldots B_n为样本空间S得一个划分.

若若B_1, B_2, ldots, B_n 是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，，事件B_1, B_2, ldots , B_n中必有一个且仅有一个发生。

2、全概率公式

定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B_1, B_2, ldots, B_n为S的一个划分，且P(B_i) ge 0 (i=1, 2, ldots , n)则

P(A) = P(A|B_1)P(B_1) = P(A|B_2)P(B_2)+ ldots + P(A|B_n)P(B_n)

全概率公式证明：因为

A=AS=A(B_1 bigcup B_2 bigcup  B_n) = AB_1 bigcup AB_2 bigcup AB_n,

由假设 P(B_i) ge 0 (i = 1, 2, ldots , n) , 且 (AB_i)(AB_j)=emptyset, i ne j, i, j = 1, 2 , ldots , n得到

begin{aligned} P(A) & = P(AB_1) + P(AB_2) + ldots + P(AB_n)\ & = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ldots + P(A|B_n)P(B_n) end{aligned}.

解释：利用概率两两独立就可列可加的特性，即可写出P(A)=P(AB_1) + P(A|B_2) + ldots + P(A|B_n)

又通过条件概率的乘法定理即可写出P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ldots + P(A|B_n)P(B_n)

3、贝叶斯(Bayes)公式

定理： 设试验E的样本空间为S. A为E的事件，B_1, B_2, dots , B_n为S的一个划分，且P(A) ge 0, P(B_i) ge 0 (i=1,2, ldots , n), 则

P(B_i|A) = frac{P(A|B_i)P(B_i)}{displaystylesum_{j=1}^n P(A|B_j)}, i = 1, 2, ldots , n

贝叶斯公式证明：

证 由试条件概率及全概率公式即得

P(B_i|A) = frac{P(B_i A)}{P(A)}=frac{P(A|B_i)P(B_i)}{displaystylesum_{j=1}^n P(A|B_j)P(B_j)}, i = 1, 2, ldots, n

四、例题

例1 据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率为0.1%，在人群中又20%是吸烟者，他们患肺癌得概率约为0.4%，求不吸烟者患肺癌得概率是多少？

解: 以C记作事件“患肺癌”，以A记事件“吸烟”，按题意P(C) = 0.001，P(A) = 0.20，P(C|A) = 0.004，需要求条件概率 P(C|overline{A}). 由全概率公式有

P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|overline{A})P(overline{A})).

将数据代入，得

begin{aligned}0.001 &= 0.004 times 0.20 + P(C|overline{A})P(overline{A})\ &= 0.004 times 0.20 + P(C|overline{A}) times 0.80.\ P(C|overline{A}) &= 0.00025 end{aligned}