一、条件概率
1、条件概率的定义
设A,B是两个事件,且P(A) > 0,称
P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
2、条件概率的条件
- 非负性:对于每一事件B,有 P(B|A) geq 0;
- 规范性:对于必然事件S,有 P(S|A) = 1
- 可列可加性:设{B_1, B_2, ...}是两两互不相容 的事件,则有
P(bigcup_{i=1}^infty B_i | A) = sum_{i=1}^{infty}P(B_i | A)
条件概率比较简单,却非常有用
二、乘法定理
1、公式定义
乘法定理 设P(A) > 0,则有
P(AB)=P(B|A)P(A)
即乘法公式。 推广到多个积事件 的情况则有
P(ABC) = P(C|AB)P(B|A)P(A)
由假设可推出P(AB) ge 0可推得P(A) geq P(AB)ge0
更一般得情况则为P(A_1, A_2 ldots A_n) = P(A_n|A_1 A_2 ldots A_{n-1} )P(A_{n-1}|A_1 A_2 ldots A_{n-2} ldots P(A_2|A_1) P(A_1))
三、全概率公式和贝叶斯公式
1、划分的定义: 设 S 为试验E得样本空间,B_1, B_2, ldots , B_n为E得一组事件. 若
(i)B_i B_j = emptyset, i ne j, j = 1, 2, ldots, n;
(ii)B_1 bigcup B_2 ldots bigcup B_n = S,则称B_1,B_2,ldots B_n为样本空间S得一个划分.
若若B_1, B_2, ldots, B_n 是样本空间的一个划分,那么,对每次试验,,事件B_1, B_2, ldots , B_n中必有一个且仅有一个发生。
2、全概率公式
定理:设试验E的样本空间为S,A为E的事件,B_1, B_2, ldots, B_n为S的一个划分,且P(B_i) ge 0 (i=1, 2, ldots , n)则
P(A) = P(A|B_1)P(B_1) = P(A|B_2)P(B_2)+ ldots + P(A|B_n)P(B_n)
全概率公式证明:因为
A=AS=A(B_1 bigcup B_2 bigcup B_n) = AB_1 bigcup AB_2 bigcup AB_n,
由假设 P(B_i) ge 0 (i = 1, 2, ldots , n) , 且 (AB_i)(AB_j)=emptyset, i ne j, i, j = 1, 2 , ldots , n得到
begin{aligned} P(A) & = P(AB_1) + P(AB_2) + ldots + P(AB_n)\ & = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ldots + P(A|B_n)P(B_n) end{aligned}.
解释:利用概率两两独立就可列可加的特性,即可写出P(A)=P(AB_1) + P(A|B_2) + ldots + P(A|B_n)
又通过条件概率的乘法定理即可写出P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ldots + P(A|B_n)P(B_n)
3、贝叶斯(Bayes)公式
定理: 设试验E的样本空间为S. A为E的事件,B_1, B_2, dots , B_n为S的一个划分,且P(A) ge 0, P(B_i) ge 0 (i=1,2, ldots , n), 则
P(B_i|A) = frac{P(A|B_i)P(B_i)}{displaystylesum_{j=1}^n P(A|B_j)}, i = 1, 2, ldots , n
贝叶斯公式证明:
证 由试条件概率及全概率公式即得
P(B_i|A) = frac{P(B_i A)}{P(A)}=frac{P(A|B_i)P(B_i)}{displaystylesum_{j=1}^n P(A|B_j)P(B_j)}, i = 1, 2, ldots, n
四、例题
例1 据美国的一份资料报导,在美国总的来说患肺癌的概率为0.1%,在人群中又20%是吸烟者,他们患肺癌得概率约为0.4%,求不吸烟者患肺癌得概率是多少?
解: 以C记作事件“患肺癌”,以A记事件“吸烟”,按题意P(C) = 0.001,P(A) = 0.20,P(C|A) = 0.004,需要求条件概率 P(C|overline{A}). 由全概率公式有
P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|overline{A})P(overline{A})).
将数据代入,得
begin{aligned}0.001 &= 0.004 times 0.20 + P(C|overline{A})P(overline{A})\ &= 0.004 times 0.20 + P(C|overline{A}) times 0.80.\ P(C|overline{A}) &= 0.00025 end{aligned}
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